gamma函数 Gamma/伽马函数，伽马分布

伽玛函数(Gamma函数)，也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

gamma函数——Gamma/伽马函数，伽马分布

一。[MathProcessingError]ΓGamma分布

指数分布是两次事件发生的时间间隔

[MathProcessingError]ΓGamma分布是n倍的指数分布

即，[MathProcessingError]ΓGamma分布表示发生n次([MathProcessingError]αalpha次)事件的时间间隔的概率分布

可以直观地认为[MathProcessingError]ΓGamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本

[MathProcessingError]Possion(X=k|λ)=λke−λk!Possion(X=k|lambda)=frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}

=>将[MathProcessingError]λlambda转为x

[MathProcessingError]Gamma(x|α=k+1)=xαe−xΓ(k+1)=xke−xk!Gamma(x|alpha=k+1)=frac{x^alphae^{-x}}{Gamma(k+1)}=frac{x^ke^{-x}}{k!}

二。[MathProcessingError]ΓGamma函数

定义

[MathProcessingError]Γ(s)=∫0+∞e−xxs−1dx(s>0)Gamma(s)=int_{0}^{+infty}e^{-x}x^{s-1}dx(s>0)

性质

1)s>0时，此反常积分收敛

2)[MathProcessingError]Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)Gamma(s+1)=sGamma(s)(s>0)，特别[MathProcessingError]Γ(n+1)=n!Gamma(n+1)=n!

3)当[MathProcessingError]s→0+sto0+时，[MathProcessingError]Γ(s)→+∞Gamma(s)to+infty

4)[MathProcessingError]Γ(s)Γ(1−s)Gamma(s)Gamma(1-s)=[MathProcessingError]πsinπs(0

[MathProcessingError]Γ(n)=(n−1)!Gamma(n)=(n-1)!，Gamma(5+1)=5!=120

[MathProcessingError]Γ(s)=(s−1)!Gamma(s)=(s-1)!，5*Gamma(5)=5*4!=120

三。[MathProcessingError]ΓGamma函数应用

[MathProcessingError]k!=∫0∞xke−xdxk!=int_{0}^{infty}x^ke^{-x}dx

在[MathProcessingError]Γ(s)=∫0∞xs−1e−xdxGamma(s)=int_{0}^{infty}x^{s-1}e^{-x}dx中，

作x=u^2的代换可得

[MathProcessingError]Γ(s)=2∫0∞e−u2u2s−1duGamma(s)=2int_{0}^{infty}e^{-u^2}u^{2s-1}du

再令t=2s-1，即有

[MathProcessingError]∫0∞e−u2utduint_{0}^{infty}e^{-u^2}u^{t}du=[MathProcessingError]12Γ(1+t2)frac{1}{2}Gamma(frac{1+t}{2}),t>-1

特别，令[MathProcessingError]s=12s=frac{1}{2}，可得概率论中常用积分

高斯-勒让德求积公式及Matlab实现

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈∑k=0xAkf(xk)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxsum^{x}_{k=0}A_{k}f(x_k)我们知道勒让德多项式[MathProcessingError]Pn+1(x)P_{n+1}(x)的零点就是求积公式的高斯点，形如上式的高斯公式特别的称为高斯-勒让德公式。

若取[MathProcessingError]P1(x)=xP_1(x)=x的零点[MathProcessingError]x0=0x_0=0做节点构造求积公式

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈A0f(0)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxA_0f(0)令它对[MathProcessingError]f(x)=1f(x)=1准确成立，即可定出[MathProcessingError]A0=2A_0=2。这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式，再取[MathProcessingError]P2(x)=12(3×2−1)P_2(x)=frac{1}{2}(3x^2-1)的两个零点[MathProcessingError]±13pmfrac{1}{sqrt{3}}构造求积公式

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈A0f(−13)+A1f(13)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxA_0f(-frac{1}{sqrt{3}})+A_1f(frac{1}{sqrt{3}})令它对[MathProcessingError]f(x)=1,xf(x)=1,x都准确成立，有

[MathProcessingError]{A0+A1=2,A0(−13)+A1(13)=0left{

begin{aligned}

&A_0+A_1=2,\

&A_0(-frac{1}{sqrt{3}})+A_1(frac{1}{sqrt{3}})=0

end{aligned}

right.

由此解出[MathProcessingError]A0=A1=1A_0=A_1=1，从而得到两点高斯-勒让德求积公式

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈f(−13)+f(13)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxf(-frac{1}{sqrt{3}})+f(frac{1}{sqrt{3}})

三点高斯-勒让德公式的形式是

[MathProcessingError]∫−11f(x)dx≈59f(−155)+89f(0)+59f(155)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxfrac{5}{9}f(-frac{sqrt{15}}{5})+frac{8}{9}f(0)+frac{5}{9}f(frac{sqrt{15}}{5})下表给出常用的高斯-勒让德求积公式的节点和系数

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。如果大家还想了解更多与之有关的信息，欢迎关注我们优词网的官网。